Диагностическая работа №17. Задача 14.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Диагностическая работа №17. Задача 14.

Точка P является серединой ребра BB1 куба A…D1. Длина ребра куба равна 4. Плоскость α проходит через точку D1 параллельно прямой C1P так, что из трех следующих утверждений два истинны, а одно ложно:

1) α параллельна AB1; 2) α параллельна AC;

3) площадь сечения куба плоскостью α меньше 8.

а) Постройте сечение этого куба плоскостью α.

б) Найдите площадь этого сечения.

КубРешение:

а) Прямые АВ1 и АС пересекаются и образуют плоскость, которая пересекается с прямой С1Р. Следовательно 1-е и 2-е утверждение не могут быть истинны вместе, т.к. в этом случае α должна быть параллельна плоскости образованной АВ1 и АС, а также прямой С1Р, что не возможно. Следовательно 3-е утверждение истинно.

Допустим истинно 2-е утверждение, тогда сечение α параллельно прямой АС. По условию D1α и α параллельна С1Р. Построим прямую D1K, где KА1А и А1K=AK. D1K параллельна С1Р, следовательно D1Kα и D1K∈(AA1D1D), а значит α пересекает (AA1D1D) по прямой D1K. Построим KL, где LC1C и LC1=CL, а значит AC параллельна KL. KL пересекает D1K и параллельна AC следовательно Lα. Точки D1 и L принадлежат плоскостям α и (DD1C1C), следовательно α и (DD1C1C) пересекаются по прямой D1L. Прямые KB и D1L параллельны, следовательно вершина B принадлежит плоскости α, которая пересекается с гранями AA1B1B и BB1C1C по прямым KB и LB. Таким образом LBKD1 сечение куба ABCDA1B1C1D1 образованное плоскостью α, которая параллельна прямым C1P и АС и которой принадлежит точка D1. Найдем площадь ромба LBKD1.

KL=AB*sqrt{2}=4sqrt{2}

D_{1}B=AB*sqrt{3}=4sqrt{3}

S_{LBKD_{1}}=KL*D_{1}B=16sqrt{6}

Площадь LBKD1 больше 8, что противоречит 3-ему утверждению, следовательно 2-е утверждение истинным быть не может. Значит истинно 1-е и 3-е утверждение.

Построим сечение куба плоскостью α, которая параллельна прямым С1Р и АВ1 и которой принадлежит вершина D1. Построим прямую D1K, где KА1А и А1K=AK. D1K параллельна С1Р, следовательно D1Kα и D1K∈(AA1D1D), а значит α пересекает (AA1D1D) по прямой D1K. Построим прямую , где МА1В1 и МА1=В1М, а значит прямая 1 параллельна прямой . пересекает D1K и параллельна 1, следовательно Мα. Точки D1 и М принадлежат плоскостям α и (А1В1C1D1), следовательно α и (А1В1C1D1) пересекаются по прямой D1М help to lose weight. Точки K и М принадлежат плоскостям α и (АBВ1A1), следовательно α и (АBВ1A1) пересекаются по прямой . D1MK сечение куба, образованное плоскостью α, которая параллельна прямым C1P и АВ1 и которой принадлежит точка D1.

б) Найдем площадь треугольника D1MK. Треугольник равнобедренный: D1K=D1M.

D_{1}K=D{1}M=sqrt{A_{1}D_{1}^{2}-({A_{1}D_{1}}/{2})^{2}}=2sqrt{3}

MK={A_{1}B_{1}}/{2}*sqrt{2}=2sqrt{2}

h=sqrt{D_{1}M^{2}-({MK}/{2})^{2}}=2

S_{D_{1}MK}={1}/{2}h*MK=2sqrt{2}

LEAVE A COMMENT