Диагностическая работа №17. Задача 16.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Диагностическая работа №17. Задача 16.

Отрезок, соединяющий вершину А ромба ABCD с серединой стороны BC, равен стороне ромба.
а) Докажите, что высота ромба, проведенная из вершины С, делит сторону AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Найдите диагональ АС ромба, если известно, что сторона ромба равна
sqrt{6}

Рисунок к решениюа) Пусть CL высота ромба, а отрезок, соединяющий вершину А ромба ABCD с серединой стороны BC пересекается со стороной BC в точке K. Пусть отрезки AK, BC, AB, AD, DC равны x, тогда отрезки BK и КС равны x/2.

Рассмотрим ΔAKB. ∠K прямой, BK = x/2, AK = AB = x. Пусть ∠B = β. По теореме косинусов

cos{beta}={AB^{2}+BK^{2}-AK^{2}}/{2*AB*BK}={x^{2}+({x}/{2})^{2}-x^{2}}/{2x{x}/{2}}={1}/{4}

Рассмотрим ΔCLD. ∠L прямой, ∠D = β, CD = x

DL=CD*cos{beta}={1}/{4}x

AL=AD-DL=x-{1}/{4}x={3}/{4}x

{DL}/{AD}={{3}/{4}x}/{{1}/{4}x}=3

б) Рассмотрим ΔABC. ∠B = β

cos{beta}={1}/{4}

AB=BC=sqrt{6}

По теореме косинусов:

AC=sqrt{sqrt{6}^{2}+sqrt{6}^{2}-2{1}/{4}sqrt{6}sqrt{6}}=3

LEAVE A COMMENT