Диагностическая работа №2. Задача 14.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Диагностическая работа №2. Задача 14.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ = 6, ВС = 6, СС1 = 4.

а) Докажите, что плоскость BDD1 перпендикулярна отрезку АС.

б) Найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.

Прямоугольный параллелепипедРешение:

а) По условию ABCD прямоугольник и АВ = ВС, следовательно ABCDквадрат. Так как параллелепипед прямоугольный, то DD1⊥(ABCD), а значит DD1AC. Так как ABCD — <a title=»Квадрат. Площадь квадрата look at here.» href=»http://my-solutions.ru/planimetriya/kvadrat-ploshhad-kvadrata.html»>квадрат, то АСDB. DD1AC и АСDB, следовательно по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АС⊥(BDD1).

б) Основание A1B1C1D1 параллельно основанию ABCD, следовательно (ACD1)^(A1B1C1) = (ACD1)^(ABCD). BDAC, DD1BDD1OAC (теорема о трех перпендикулярах). D1OAC и BDAC ⇒ ∠DOD1 = (ACD1)^(ABCD) = (ACD1)^(A1B1C1) = α. Рассмотрим ΔODD1:

DO={BD}/{2}

АВ = ВС = 6, следовательно диагональ квадрата:

BD=6sqrt{2}

DO={6sqrt{2}}/{2}=3sqrt{2}

tg{alpha}={DD_{1}}/{DO}={4}/{3sqrt{2}}={2sqrt{2}}/{3}

{alpha}=arctg{2sqrt{2}}/{3}

LEAVE A COMMENT