Задание 14 (ЕГЭ). Правильная шестиугольная призма. Плоскость через точки E, B1, C1.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Задание 14 (ЕГЭ). Правильная шестиугольная призма. Плоскость через точки E, B1, C1.

В правильной шестиугольной призме AF1 все ребра равны 10.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки E, B1 и C1.

б) Найдите расстояние от точки E до прямой B1C1.

Шестиугольная призмаРешение:

а) Построение. Секущая плоскость α определяется точками EB1 и  C1 не лежащими на одной прямой (теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через три точки).

Найдем прямые, по которым α пересекает плоскости граней шестиугольной призмы. B1 и  C1 общие точки плоскости α и ребра B1C1, которое является общим для граней A1B1C1D1E1F1 и BB1C1C, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой  B1C1. Прямая FE параллельна прямой B1C1 и точки EB1 и  C1 принадлежат плоскости α, следовательно точка F так же принадлежит α. F и E общие точки плоскости α и ребра FE, которое является общим для граней ABCDEF и FF1E1E, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой  FE. Точка K — точка пересечения прямых CD и EF. Точка K принадлежит CD, а значит принадлежит плоскости грани CC1D1D. Точки C1 и K принадлежат плоскости CC1D1D, следовательно C1K также принадлежит этой плоскости. Прямые C1K и D1D принадлежат плоскости CC1D1D и не параллельны друг другу, следовательно они пересекаются в точке K1. Точки C1 и K принадлежат плоскости α, следовательно все точки прямой C1K, в том числе K1, также принадлежат α. C1 и K общие точки плоскости α и плоскости грани CC1D1D, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой C1K. K1 и E общие точки плоскости α и плоскости грани EE1D1D, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой EK1. Аналогичным способом построим точки L и L1, а также прямые пересечения плоскости α, и граней шестиугольной призмы.

б) Прямая B1C1 перпендикулярна прямым CC1 и C1E, следовательно она перпендикулярна плоскости EE1C1C (признак перпендикулярности прямой и плоскости), а значит перпендикулярна прямой EC1, следовательно EC1 является кратчайшим расстоянием от точки E до прямой B1C1.

Рассмотрим равнобедренный треугольник E1D1C1, у которого E1D1 = D1C1 = 10, а <E1 = <C1 = 120º — 90º = 30º.

{E_{1}C_{1}}/{2}={{sqrt{3}}/{2}}*{10}
E_{1}C_{1}=10*sqrt{3}
Рассмотрим прямоугольный треугольник EE1C1, у которого E1 = 90º, EE1 = 10, а

E_{1}C_{1}=10*sqrt{3}

По теореме Пифагора:

EC_{1}=sqrt{10^{2}+(10sqrt{3})^{2}}=20

Ответ: 20

LEAVE A COMMENT