Подготовительные задания. Задача 14. Задание 1.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Подготовительные задания. Задача 14. Задание 1.

Прямые, содержащие ребра DA и BC треугольной пирамиды DABC, взаимно перпендикулярны, DA = 10, BC = 24.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра BD и параллельной прямым AD и BC.

б) Найдите расстояние между серединами ребер BD и AC.

треугольная пирамидаРешение:

а) Пусть точка K является серединой ребра BD. Построим прямую KL параллельную прямой BC, где L принадлежит DC. В этом случае KL является средней линией треугольника BCD. Построим прямую KN параллельную прямой DA, где N принадлежит BA. В этом случае KN является средней линией треугольника ADB. Аналогичным способом построим прямую LM. KN параллельна DA, и LM параллельна DA, следовательно KN параллельна LM, а значит точки K, L, M и N принадлежат одной плоскости. Обозначим плоскость образованную точками K, L, M и N, как плоскость α . Прямые KN, LM и DA взаимно параллельны и принадлежат плоскости α, следовательно плоскость α параллельна прямой DA. KN средняя линия треугольника ADB, следовательно BN = NA. LM средняя линия треугольника DAC следовательно AM = MC. BN = NA и AM = MC следовательно MN является средней линией треугольника ABC, а значит MN параллельна BC. KL параллельна BC и MN параллельна BC, следовательно α параллельна BC. α параллельна BC и DA, а точка K принадлежащая плоскости является серединой ребра BD, следовательно плоскость α является искомым сечением.

б) Ребро DA перпендикулярно ребру BC, KL параллельна BC, а LM параллельна AD, следовательно KLLM. MN параллельна KL, KN параллельна LM и KLLM, следовательно KLMN прямоугольник. KL средняя линия треугольника BCD, у которого сторона BC = 24, следовательно KL = 12. LM средняя линия треугольника ACD, у которого сторона AD = 10, следовательно LM = 5.

У прямоугольника KLMN стороны равны 12 и 5, значит диагональ по теореме Пифагора

KM=sqrt{12^{2}+5^{2}}=13

Ответ: 13

 

2 thoughts on - Подготовительные задания. Задача 14. Задание 1.

  • Почему LM проводим параллельно DA , на основании чего, теоретически как подтвердить , что надо так.

    • При необходимости Вы можете построить любой геометрический объект (точку, прямую, плоскость и т.д.). При этом Вы вправе задать условия для этой фигуры, определяющие ее расположение в пространстве.

LEAVE A COMMENT