Задание 14 (ЕГЭ). Правильная шестиугольная призма. Плоскость через точки F1, A и C.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Задание 14 (ЕГЭ). Правильная шестиугольная призма. Плоскость через точки F1, A и C.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки F1, A и C.

б) Найдите расстояние от точки F1 до прямой AC.

Решение:

шестиугольника) Построение. Секущая плоскость α определяется точками A, C, F1, не лежащими на одной прямой (теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через три точки).

Найдем прямые, по которым α пересекает плоскости граней шестигранника. A и C общие точки плоскости α и плоскости грани ABCDEF, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой AC. A и F1 общие точки плоскости α и плоскости грани AFF1A1, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой AF1. Прямая F1D1 параллельна AC и точки A, C и F1 принадлежат плоскости α, следовательно точка D1 так же принадлежит α. F1 и D1 общие точки плоскости α и плоскости грани A1B1C1D1E1F1, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой F1D1. D1 и C общие точки плоскости α и плоскости грани CDD1C1, следовательно эти плоскости пересекаются по прямой D1C.

б) Расстоянием от точки F1 до прямой A является длина перпендикуляра проведенного из точки F1 к прямой AC. ABCDEF правильный шестиугольник ⇒ ACAF. ABCDEFA1B1C1D1E1F1 правильная шестиугольная призма ⇒ AA1ABCDEFAA1AC. Прямая AC перпендикулярна прямым AA1 и AF, а прямые AA1 и AF принадлежат плоскости AFF1A1 следовательно ACAFF1A1 (признак перпендикулярности прямой и плоскости), а значит перпендикулярна прямой AF принадлежащей этой плоскости. Следовательно F1A является перпендикуляром к прямой AC. AF1 это диагональ квадрата AFF1A1 ширина которого равна 1.

AF_{1}=sqrt{2}

 

LEAVE A COMMENT