Задание 14 (ЕГЭ). Прямоугольный параллелепипед.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Задание 14 (ЕГЭ). Прямоугольный параллелепипед.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDAA1B1C1D1 известны ребра АВ = 5, AD = 3, AA1 = 8. Точка R принадлежит ребру АА1 и делит его в отношении 3 : 5, считая от вершины А.

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, R и D1.

б) Найдите площадь этого сечения.

прямоугольный параллелпипедДано:

ABCDAA1B1C1D1 — прямоугольный параллелепипед

АВ = 5

AD = 3

AA1 = 8

RAA1, AR : RA1 = 3 : 5


а) Bα, Rα и D1α, построить плоскость α.

б) Sα∩ABCDAA1B1C1D1?

Решение:

а) Построим прямую BR1, где R1CC1 и BR1 параллельна прямой D1R. Так как Bα, Rα и D1α, а BR1 параллельна прямой D1R, то R1α. Следовательно параллелограмм D1RBR1 будет сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDAA1B1C1D1 плоскостью а.

б) Так как AA1= 8 и AR : RA1 = 3 : 5, то AR = 3, RA1 = 5.

ΔBCR1 = ΔD1A1R (по катетам A1D1 и углам B и D1), следовательно R1C = RA1 = 5 и R1C1 = AR = 3.

RR_{1}=sqrt{(R_{1}C-AR)^{2}+AB^{2}+AD^{2}}=sqrt{2^{2}+5^{2}+3^{2}}=sqrt{38}

D_{1}B=sqrt{AA_{1}^{2}+AB^{2}+AD^{2}}=sqrt{8^{2}+5^{2}+3^{2}}=sqrt{98}

R_{1}B=sqrt{R_{1}C^{2}+AD^{2}}=sqrt{5^{2}+3^{2}}=sqrt{34}

RB=sqrt{AR^{2}+AB^{2}}=sqrt{3^{2}+5^{2}}=sqrt{34}

Стороны D1RBR1 равны между собой, следовательно это ромб.

S={1}/{2}*RR_{1}*D_{1}B={1}/{2}*sqrt{38}*sqrt{98}=7sqrt{19}

 

LEAVE A COMMENT