Задание 14 (ЕГЭ). Правильная шестиугольная призма.

Home » Подготовка к ЕГЭ по математике » Задание 14 (ЕГЭ). Правильная шестиугольная призма.

В правильной шестиугольной призме AF1 все ребра равны 1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A1, B1 и C.

б) Найдите расстояние от точки C до прямой A1B1.

Решение:

Шестиугольная призмаа) Пусть α плоскость образованная точками A1, B1 и C. Ребро А1В1 принадлежит α .

Точки В1 и С принадлежат секущей плоскости α и грани (ВВ1С1С), следовательно α пересекается с гранью (ВВ1С1С) по прямой В1С.

Прямая FC параллельна прямой А1В1, точки А1, В1 и С принадлежат плоскости α , следовательно Fα . Точки F и С принадлежат плоскости α и грани (ABCDEF), следовательно α пересекается с гранью (ABCDEF) по прямой FC.

Точки F и A1 принадлежат секущей плоскости α и грани (AA1F1F), следовательно α пересекается с гранью (AA1F1F) по прямой F1A1.

Таким образом трапеция A1B1CF и будет сечением призмы плоскостью α , которой принадлежат точки A1, B1 и C.

б) Построим прямую СН перпендикулярную прямой А1В1, где точка Н является точкой пересечения этих двух прямых. Так как СНА1В1 и НА1В1, то длина отрезка СН равна расстоянию от точки С до прямой А1В1.

ТрапецияРассмотрим сечение A1B1CF. A1B1CF — равнобедренная трапеция. A1B1=1.

B1Cдиагональ квадрата, сторона которого равна 1.

B_{1}C=sqrt{2}

FC — диагональ правильного шестиугольника, сторона которого равна 1.

FC=2

Так как A1B1CF равнобедренная трапеция, то

B_{1}H={FC-A_{1}B_{1}}/{2}={1}/{2}

ΔB1CH — прямоугольный

CH=sqrt{B_{1}C^{2}-B_1H^{2}}=sqrt{(sqrt{2})^{2}-({1}/{2})^{2}}={sqrt{7}}/{2}

LEAVE A COMMENT